Задача 56. (Сергей Дориченко, Сергей Шашков)

Каждый из 10 школьников должен был купить в поход по 2 кг крупы. Но крупа продавалась в пачках, весивших меньше килограмма, и часть школьников взяли по три пачки (с запасом), а часть – по две (с  недостачей). В итоге всё равно получилось ровно 20  кг крупы. Сколько весила одна пачка, если её масса в граммах целая?

Задача 57. (Игорь Акулич)

На шахматной доске 8×8 надо отметить несколько клеток так, чтобы не нашлось ни одного равнобедренного треугольника с вершинами в центрах отмеченных клеток. Легко отметить 8 клеток – например, все клетки любой вертикали: их центры лежат на одной прямой и не образуется вообще ни одного треугольника, в том числе и равнобедренного. А можно ли отметить больше 8 клеток? (Возможно, в решении вам пригодится теорема Пифагора.)

Задача 58. (Михаил Евдокимов)

За круглым столом сидят 40 человек, каждый из которых либо правдолюб (всегда говорит правду), либо лжец (всегда лжёт), либо хитрец (если он произносит два утверждения, то обязательно какое-то из них будет правдивым, а другое ложным). Каждый из сидящих заявил: «Рядом со мной сидит лжец» и «Рядом со мной сидит хитрец». Какое наименьшее число хитрецов может быть за столом?

Задача 59. (Татьяна Корчемкина)

Два квадрата с общим центром расположены так, что стороны одного в точках пересечения делят стороны другого на три равные части. Синяя площадь равна 1. Найдите зелёную, красную и жёлтую площади.

Задача 60. (Борис Френкин)

Имеется клетчатое кольцо шириной в 1 клетку. Квантик и Ноутик делают ходы по очереди, начинает Квантик. В свой ход Квантик ставит крестик в свободную клетку (где ещё нет никакого значка). Ноутик в  свой ход ставит в свободную клетку нолик. Крестик и нолик не могут стоять в соседних клетках. Проигрывает тот, кто не может сделать ход. У кого из игроков есть гарантированный способ выиграть, если всего клеток в кольце а) 2020; б) 2021?

Задача 51. (Михаил Евдокимов)

Можно ли неверное равенство 1+2+3+…+100 = 1000 сделать верным,
а) удалив некоторые из 100 его слагаемых;
б) заменив некоторые из 99 плюсов на минусы?

Задача 52. (Александр Перепечко)

В классе поровну мальчиков и  девочек. Каждый мальчик дружит хотя бы с одной девочкой. При этом, каких бы двух мальчиков мы ни взяли, у них будет разное количество подруг. Докажите, что всегда удастся разбить класс на дружащие пары «мальчик-девочка».

Задача 53. (Михаил Евдокимов)

Можно ли квадрат разрезать на несколько равносторонних а) пятиугольников; б) шестиугольников? (Многоугольник называется равносторонним, если все его стороны равны. Его углы не обязательно равны, и он даже может быть невыпуклым.)

Задача 54. (Александр Перепечко)

Квантик выписал десятизначное натуральное число, содержащее все цифры от 0 до 9, в котором любые две соседние цифры различаются хотя бы на 5. а) Какие у этого числа могут быть первая и последняя цифры? Приведите все варианты и докажите, что других нет. б) Приведите пример такого числа.

Задача 55. (Михаил Евдокимов)

Назовём «змейкой» фигуру, склеенную из пяти одинаковых кубиков так, как показано на рисунке (змейка может «смотреть» направо или налево). Можно ли из некоторого количества таких змеек сложить куб без дырок?

Задача 46. (Григорий Гальперин)

Петя пытался разрезать тупоугольный треугольник на остроугольные треугольники, но у него ничего не получалось. В какой-то момент он узнал из одной книги, что такое разрезание возможно для 7  треугольников (см. рисунок). А  можно ли разрезать какой-нибудь тупоугольный треугольник на 8  остроугольных треугольников?

Задача 47. (Александр Перепечко)

а) Ноутик записал по числу в вершинах треугольной пирамидки и про каждое из шести её рёбер сообщил Квантику, какова сумма чисел на концах этого ребра. Как Квантику восстановить числа в вершинах?
б) Удастся ли однозначно восстановить числа, если Ноутик запишет числа в вершинах куба и сообщит сумму на каждом ребре?

Задача 48. (Александр Перепечко)

Дан ржавый циркуль с  фиксированным раствором 10 см. С его помощью нарисуйте несколько линий на прямоугольнике 10 см × 20 см так, чтобы после разрезания по этим линиям среди кусков нашлась фигура площади 100 см².

Задача 49. (Михаил Евдокимов)

На экране дан белый клетчатый квадрат 4×4 без угловой клетки. Одна из оставшихся 15 клеток призовая. За одну попытку игрок нажимает на любую клетку, и та становится зелёной, если она призовая, жёлтой, если призовая клетка соседняя (по стороне или углу), и красной иначе. Может ли игрок наверняка узнать, какая клетка призовая, после трёх попыток?

Задача 50. (Игорь Акулич)

В строку записаны несколько букв О и Р в произвольном порядке (назовём это «словом»). Первым ходом между каждыми двумя соседними буквами исходного слова впишем дополнительные буквы по таким правилам:

- если соседние буквы одинаковые, между ними вписывается О;
- если соседние буквы разные, между ними вписывается Р.

Вторым ходом по тем же правилам впишем буквы между каждыми
двумя соседними буквами полученного слова, и т.д. (например: ООР, ОООРР, ОООООРРОР, …). Пусть мы начали со слова ОР и сделали 55 ходов. Каких букв – О или Р – будет в получившемся слове больше и во сколько раз?

Задача 41. (Сергей Дориченко)

Барон Мюнхгаузен и 10 его друзей устроили для себя 10 обедов. На каждом обеде барон съел больше, чем какие-то 9 его друзей вместе взятые. Могло ли оказаться, что суммарно за эти 10  обедов барон съел меньше, чем любой его друг?

Задача 42. (Сергей Дворянинов)

На листке бумаги нарисован острый угол. Толик Втулкин хочет проверить, этот угол больше 60° или нет. Как ему это сделать, имея в  распоряжении только циркуль и проведя всего две окружности?

Задача 43. (Александр Перепечко)

Дан кубик с гранями шести разных цветов.
а) Можно ли из его копий собрать куб 2×2×2 так, чтобы любые два соседних кубика касались по граням одинакового цвета?
б) А собрать какой-нибудь куб большего размера?

Задача 44. (Игорь Акулич)

16 точек расположены в виде квадрата, как на рисунке снизу. Их произвольным образом разбивают на пары, а затем точки каждой пары соединяют отрезком. Петя утверждает, что среди восьми проведённых отрезков обязательно найдутся либо два параллельных между собой (возможно, лежащих на одной прямой), либо два перпендикулярных. Прав ли он?

Задача 45. (Александр Грибалко)

За круглым столом сидят 25 рыцарей, которые представляют два ордена. В зале тусклый свет, поэтому каждый видит только четырёх ближайших соседей – по два слева и справа. Докажите, что один из рыцарей видит слева и справа поровну рыцарей своего ордена.

Задача 36. (Георгий Караваев)

Можно ли построить замкнутый шестиугольный забор так, чтобы овцы, обозначенные ноликами, оказались внутри забора, а волки, обозначенные крестиками, – снаружи?

Задача 37. (Алексей Толпыго)

а) У Тани есть 3 гири весом 1001, 1002 и  1003 г (неизвестно, где какая), а у весовщика Степана Ильича – двухчашечные весы. Таня отдаёт гири весовщику и заказывает ему два взвешивания (заказ делается сразу, менять его после первого взвешивания нельзя). Может ли она гарантированно установить, какая гиря сколько весит?
б) Тот же вопрос, если у весов Степана Ильича левая чашка на 1 г легче правой, так что весы показывают равновесие, если вес на левой чашке на 1 г больше, чем на правой.

Задача 38. (Борис Френкин)

В каждой клетке квадратной таблицы стоит 1  или  –1. Сумма всех чисел в таблице равна 1. Можно ли определить, чему равно их произведение?

Задача 39. (Георгий Караваев)

У Ани и Тани было пять деталей, изображённых на рисунке. Аня взяла одну из деталей и вырезала ещё три таких же, а Таня забрала себе оставшиеся четыре. После этого Аня сложила фигуру из своих четырёх деталей, а Таня – из своих. Выяснилось, что фигуры у Ани и Тани вышли одинаковые. Для каждой детали определите, могла ли она достаться Ане.

Задача 40. (Сергей Дворянинов)

Точки K, L, M и N лежат на сторонах AB, BC, CD и DA четырёхугольника ABCD. Каждая точка делит соответствующую сторону в отношении 1:2 (для стороны AB либо AK:KB=1:2, либо BK:KA=1:2, и т.д.). Могло ли оказаться, что площадь четырёхугольника KLMN больше площади четырёхугольника ABCD?

Задача 31. (Георгий Караваев)

Любознательный жук сидит в клетке под номером 1. Он умеет переползать только в клетку, соседнюю по стороне, и хочет обойти числа от 2 до 7 в порядке возрастания. При этом он не хочет посещать никакую клетку больше одного раза. Помогите ему построить подходящий маршрут.

Задача 32. (Егор Бакаев)

Квантик расположил в квадрате два треугольника с одинаковым набором углов, как схематично показано на рисунке. Угол какой величины обязательно встретится среди углов этих треугольников?

Задача 33. (Алексей Толпыго)

Число N обладает таким свойством: если в нём вычеркнуть несколько цифр (одну или больше, но чтобы что-то осталось), то всегда получается простое число или 1. Какое наибольшее число знаков может иметь N?

Задача 34. (Сергей Дворянинов)

Из тысячи красных и синих кубиков 1×1×1 сложили куб 10×10×10. Чтобы кубики не перепачкались свежей краской, между соседними кубиками разного цвета вставляли тонкий изолирующий квадратик. Оказалось, что изолирующих квадратиков нечётное количество. Докажите, что на поверхности куба не может быть поровну красного и синего.

Задача 35. (Георгий Караваев)

Толя нашёл 6 игрушечных домиков из старого конструктора. Он точно помнит, что эти домики весят 10, 20, 30, 40, 50 и 60 граммов, но не помнит, какой именно домик сколько весит. Он дважды взвесил домики на правильных весах так, как показано на рисунке. Вес каких домиков он может определить однозначно?

Задача 26. (Сергей Дориченко)

Рома и Саша налили себе доверху одинаковые чашки чая. Рома сначала выпил полчашки, потом отпил глоток, а затем выпил треть оставшегося. А Саша сначала выпил треть чашки, потом отпил такой же глоток, как Рома, а затем выпил половину оставшегося. Кто выпил больше чая?

Задача 27. (Мария Ахмеджанова)

Решите ребус:
СОЯ + СОЯ + СОЯ = МЯСО.
(Найдите все решения и докажите, что других нет. Одинаковыми буквами обозначены одинаковые цифры, разными – разные, и ни одно число не начинается с ноля.)

Задача 28. (Мария Ахмеджанова)

Головоломка «Ёлки-палки» состоит из 100 палочек, длина каждой из которых либо 1 см, либо 3 см. Требуется из всех этих палочек (не ломая) составить правильный многоугольник. Вовочка попытался выложить прямоугольник, но доказал, что этого сделать нельзя, и считает, что головоломка бракованная. Прав ли он?

Задача 29. (Мария Ахмеджанова)

Две точки A и B внутри прямоугольника соединили с его вершинами, как показано на рисунке. Докажите, что суммарная площадь двух жёлтых треугольников, примыкающих к точке A, равна суммарной площади двух жёлтых треугольников, примыкающих к точке B.

Задача 30. (Александр Домашенко)

Андрей вырезал из бумаги «в треугольную клеточку» три одинаковые снежинки для украшения новогодней ёлки (рисунок слева). Катя считает, что их можно разрезать так, чтобы получилось всего семь частей, из которых можно сложить правильный шестиугольник (рисунок справа). Права ли Катя?

Задача 21. (Антон Артюхов)

Слот-машина устроена так: нажимаешь на рычаг, а она случайно выбирает цифру от 0 до 9 на каждом из трёх барабанов. Если выпали три одинаковые цифры, машина выдаёт 5000 рублей, нажатие на рычаг стоит 100 рублей. Но машина сломалась: после выпадения 000 цифры на первом барабане стали выпадать по циклу через 1 (0, 2, 4, 6, 8, 0, 2, …), на втором – через 2 (0, 3, 6, 9, 2, …), на третьем – через 3 (0, 4, 8, 2, …). Выгодно ли это фирме, поставившей машину?

Задача 22. (Сергей Костин)

а) В дачном посёлке 36 домиков, соединённых дорожками (рис. 1). Длина каждой дорожки 100 м. Когда в домике заводят кошку, мыши убегают из него и из всех домиков, до которых от него не более 200 м (длина пути считается вдоль дорожек). В каком наименьшем количестве домиков надо завести кошек, чтобы мыши полностью покинули посёлок?
б) Решите ту же задачу, если домиков 38 и они расположены как на рисунке 2.

Задача 23. (Николай Авилов)

Рома суммировал подряд идущие натуральные числа, начиная с 1, а Поля умножала подряд идущие натуральные числа, тоже начиная с 1. Среди сумм Ромы и произведений Поли есть равные числа, например: 1+2+3=1·2·3. А может ли ещё какая-то сумма у Ромы оказаться равной какому-то произведению у Поли?

Задача 24.

Нетрудно нарисовать на клетчатой бумаге треугольник с целочисленными длинами сторон и вершинами в узлах – например, прямоугольный треугольник со сторонами 3, 4, 5. А можно ли нарисовать треугольник с целочисленными длинами сторон и вершинами в узлах так, чтобы ни одна его сторона не проходила по линиям сетки?

Задача 25. (Игорь Акулич)

Требуется записать по кругу все натуральные числа от 1 до n в таком порядке, чтобы сумма любых двух соседних чисел была простым числом. Можно ли это сделать, если:
а) n = 2021;
б) n = 2022?

Задача 16. (Михаил Евдокимов)

Можно ли заполнить таблицу 4×4 различными целыми числами от 1 до 16 так, чтобы никакие два соседних числа не стояли рядом (в соседних клетках по вертикали, горизонтали или диагонали)?

Задача 17. (Григорий Гальперин)

Любой ли остроугольный треугольник можно разрезать на 17 тупоугольных треугольников?

Задача 18. (Игорь Акулич)

Квантик и Ноутик играют в такую игру. Ноутик диктует Квантику цифры от 1 до 9 в том порядке, в котором захочет (каждую по одному разу). Квантик записывает их на листе бумаги, причём каждую цифру, начиная со второй, пишет либо слева, либо справа от всех ранее написанных цифр. В результате на листе образуется девятизначное число. Квантик хочет, чтобы оно было как можно больше, а Ноутик – чтобы оно было как можно меньше. Какое число получится, если оба будут играть наилучшим образом?

Задача 19. (Леонард Эйлер)

Числа
41,
41 + 2,
41 + 2 + 4,
41 + 2 + 4 + 6,
41 + 2 + 4 + 6 + 8,
41 + 2 + 4 + 6 + 8 + 10,
41 + 2 + 4 + 6 + 8 + 10 + 12
простые. Верно ли, что так будет всегда и дальше?

Задача 20. (Анна Андреева, Михаил Панов)

Даны два прямоугольника ABCD и DEFG, причём точка E лежит на отрезке AD, точка G лежит на отрезке CD, а точка F – центр вписанной окружности треугольника ABC. Во сколько раз площадь прямоугольника ABCD больше площади прямоугольника DEFG?

Задача 11. (Григорий Гальперин)

а) Можно ли составить из ненулевых цифр 1001-значное число с таким хитрым свойством: если вычеркнуть в нём несколько цифр (не обязательно подряд) так, чтобы осталось семизначное число, то это оставшееся число точно не будет делиться на 77?
б) А если всегда должно оставаться шестизначное число, которое точно не будет делиться на 77?

Задача 12.

За день пребывания в Волшебной школе количество знаний увеличивается на столько процентов (по сравнению с предыдущим днём), какое в этот день число. Например, за 31 октября знаний станет больше на 31%, а за 1 ноября – только на 1%. Незнайка учился в Волшебной школе с 10 по 20 октября включительно, а Знайка – с 11 по 21 октября. У кого теперь больше знаний и на сколько процентов, если до Волшебной школы их знания были одинаковыми?

Задача 13. (Александр Перепечко)

Три орнитолога, каждый на своей башне, следят за одной цаплей. Орнитологи всё время смотрят прямо на цаплю, поворачиваясь вслед за ней. Утром цапля вылетела из гнезда на охоту и вечером вернулась обратно. Могло ли оказаться так, что в результате первый орнитолог сделал ровно один оборот вокруг себя по часовой стрелке, второй – против, а третий – вовсе не сделал ни одного полного оборота?

Задача 14. (Михаил Евдокимов)

Можно ли записать в каждой вершине куба натуральное число так, чтобы все 8 чисел были различны, но произведение чисел в вершинах каждой грани было одно и то же?

Задача 15. (Михаил Евдокимов)

а) На клетчатом листе нарисовали четырёхугольник с вершинами в узлах сетки (см. рисунок). Докажите, что у него один из углов в два раза больше другого.
б) Нарисуйте на клетчатом листе выпуклый четырёхугольник с вершинами в узлах сетки, у которого один из углов в четыре раза больше другого.

Задача 6. (Сергей Костин)

За три весенних месяца некоторого года понедельников было меньше, чем четвергов. Чего было меньше за три летних месяца того же года – вторников или пятниц?

Задача 7. (Григорий Гальперин)

Найдите все натуральные числа n, для которых n² = n! + n. (Напомним, что n! – это произведение 1 · 2 · … · n первых n натуральных чисел.)

Задача 8. (Данила Иванов)

Два игрока играют в крестики-нолики на бесконечной клетчатой плоскости. Выигрывает тот, кто отметит пять клеток в виде креста (см. рисунок) своим значком. Всегда ли второй игрок может помешать первому выиграть?

Задача 9. (Михаил Евдокимов)

a) Можно ли все натуральные числа окрасить в три цвета так, чтобы каждый цвет присутствовал и произведение любых двух чисел одного цвета было числом того же цвета?
б) А в семь цветов?

Задача 10.

Придумайте способ разрезать квадрат на части и передвинуть их, не поворачивая, так чтобы получился такой же, но повёрнутый квадрат (например, как на рисунке).

Задача 1. (Григорий Гальперин)

Гриша положил на левую чашку равноплечих весов три гирьки массой 1/8, 1/9 и 1/10 граммов. Можно ли положить на правую чашку две гирьки, веса которых – дроби с числителем 1, чтобы они уравновесили три гирьки на левой чашке?

Задача 2. (Александр Перепечко)

На окружности расположены три дома на равном расстоянии друг от друга. Как короче пройти от одного дома до другого – по дуге окружности (синий путь) или через центр окружности (зелёный путь)?

Задача 3. (Николай Авилов)

На листках отрывного календаря на год написаны числа, соответствующие датам каждого месяца. Хулиган Петя хочет оторвать несколько листков (не обязательно подряд) так, чтобы на оставшихся листках не нашлось двух чисел, одно из которых в три раза больше другого. Какое наименьшее число листков ему придётся оторвать?

Задача 4. (Егор Бакаев)

Дан правильный 10-угольник ABCDEFGHIJ (все его стороны равны, и углы тоже). Какую часть его площади занимает треугольник ACD?

Задача 5. (Павел Кожевников)

На клетчатой плоскости (все клетки – квадратики 1×1) нарисован прямоугольник по линиям сетки. Его разрезали по линиям сетки на N прямоугольников, проведя несколько горизонтальных и вертикальных разрезов от края до края. Докажите, что можно покрасить какие-то из этих N прямоугольников (возможно, один или все) так, чтобы окрашенная область была прямоугольником площади, делящейся на N.