«Квантик» - журнал для любознательных
English version

Стартовал наш очередной конкурс 2020/2021 учебного года! Теперь он будет проводиться в три этапа: с сентября по декабрь, с января по апрель и с мая по август. Дипломы и призы получат не только победители за весь год, но и победители каждого этапа. Приглашаем всех присоединиться и попробовать свои силы!

Задачи конкурса печатаются в каждом номере. Участвовать можно, начиная с любого тура. Победителей ждут дипломы журнала «Квантик», научно-популярные книги, диски с увлекательными математическими мультфильмами.

Конкурс ориентирован на школьников 5-8 классов, но и младшеклассники могут присылать решения. Вносите решения задач III тура, с которыми справитесь, не позднее 5 декабря в систему проверки konkurs.kvantik.com (инструкция kvan.tk/matkonkurs) или высылайте по электронной почте либо обычной почтой по адресу: 119002, Москва, Б. Власьевский пер., д. 11, журнал «Квантик». В письме кроме имени и фамилии укажите город, школу и класс, в котором вы учитесь, а также обратный адрес.

Конкурс 2019/2020 учебного года окончен, поздравляем победителей Задачи и результаты конкурсов прошлых лет: 2019-2020, 2018-2019, 2017-2018, 2016-2017, 2016, 2015, 2014, 2013, 2012.

Желаем успеха!

III тур

Задача 11. (Григорий Гальперин)

а) Можно ли составить из ненулевых цифр 1001-значное число с таким хитрым свойством: если вычеркнуть в нём несколько цифр (не обязательно подряд) так, чтобы осталось семизначное число, то это оставшееся число точно не будет делиться на 77?
б) А если всегда должно оставаться шестизначное число, которое точно не будет делиться на 77?

Иллюстрация

Задача 12.

За день пребывания в Волшебной школе количество знаний увеличивается на столько процентов (по сравнению с предыдущим днём), какое в этот день число. Например, за 31 октября знаний станет больше на 31%, а за 1 ноября – только на 1%. Незнайка учился в Волшебной школе с 10 по 20 октября включительно, а Знайка – с 11 по 21 октября. У кого теперь больше знаний и на сколько процентов, если до Волшебной школы их знания были одинаковыми?

Иллюстрация

Задача 13. (Александр Перепечко)

Три орнитолога, каждый на своей башне, следят за одной цаплей. Орнитологи всё время смотрят прямо на цаплю, поворачиваясь вслед за ней. Утром цапля вылетела из гнезда на охоту и вечером вернулась обратно. Могло ли оказаться так, что в результате первый орнитолог сделал ровно один оборот вокруг себя по часовой стрелке, второй – против, а третий – вовсе не сделал ни одного полного оборота?

Иллюстрация

Задача 14. (Михаил Евдокимов)

Можно ли записать в каждой вершине куба натуральное число так, чтобы все 8 чисел были различны, но произведение чисел в вершинах каждой грани было одно и то же?

Иллюстрация

Задача 15. (Михаил Евдокимов)

а) На клетчатом листе нарисовали четырёхугольник с вершинами в узлах сетки (см. рисунок). Докажите, что у него один из углов в два раза больше другого.
б) Нарисуйте на клетчатом листе выпуклый четырёхугольник с вершинами в узлах сетки, у которого один из углов в четыре раза больше другого.

Чертёж
Иллюстрация

Скачать этот тур в pdf

II тур

Задача 6. (Сергей Костин)

За три весенних месяца некоторого года понедельников было меньше, чем четвергов. Чего было меньше за три летних месяца того же года – вторников или пятниц?

Иллюстрация

Задача 7. (Григорий Гальперин)

Найдите все натуральные числа n, для которых n2 = n! + n. (Напомним, что n! – это произведение 1 · 2 · … · n первых n натуральных чисел.)

Иллюстрация

Задача 8. (Данила Иванов)

Два игрока играют в крестики-нолики на бесконечной клетчатой плоскости. Выигрывает тот, кто отметит пять клеток в виде креста (см. рисунок) своим значком. Всегда ли второй игрок может помешать первому выиграть?

Чертёж
Иллюстрация

Задача 9. (Михаил Евдокимов)

a) Можно ли все натуральные числа окрасить в три цвета так, чтобы каждый цвет присутствовал и произведение любых двух чисел одного цвета было числом того же цвета?
б) А в семь цветов?

Иллюстрация

Задача 10.

Придумайте способ разрезать квадрат на части и передвинуть их, не поворачивая, так чтобы получился такой же, но повёрнутый квадрат (например, как на рисунке).

Чертёж
Иллюстрация

I тур

Задача 1. (Григорий Гальперин)

Гриша положил на левую чашку равноплечих весов три гирьки массой 1/8, 1/9 и 1/10 граммов. Можно ли положить на правую чашку две гирьки, веса которых – дроби с числителем 1, чтобы они уравновесили три гирьки на левой чашке?

Иллюстрация

Задача 2. (Александр Перепечко)

На окружности расположены три дома на равном расстоянии друг от друга. Как короче пройти от одного дома до другого – по дуге окружности (синий путь) или через центр окружности (зелёный путь)?

Иллюстрация

Задача 3. (Николай Авилов)

На листках отрывного календаря на год написаны числа, соответствующие датам каждого месяца. Хулиган Петя хочет оторвать несколько листков (не обязательно подряд) так, чтобы на оставшихся листках не нашлось двух чисел, одно из которых в три раза больше другого. Какое наименьшее число листков ему придётся оторвать?

Иллюстрация

Задача 4. (Егор Бакаев)

Дан правильный 10-угольник ABCDEFGHIJ (все его стороны равны, и углы тоже). Какую часть его площади занимает треугольник ACD?

Чертёж
Иллюстрация

Задача 5. (Павел Кожевников)

На клетчатой плоскости (все клетки – квадратики 1×1) нарисован прямоугольник по линиям сетки. Его разрезали по линиям сетки на N прямоугольников, проведя несколько горизонтальных и вертикальных разрезов от края до края. Докажите, что можно покрасить какие-то из этих N прямоугольников (возможно, один или все) так, чтобы окрашенная область была прямоугольником площади, делящейся на N.

Иллюстрация