«Квантик» - журнал для любознательных
English version

Стартовал первый этап нашего конкурса 2022/2023 учебного года!

Он проводится в три этапа: с сентября по декабрь, с января по апрель и с мая по август. Дипломы и призы получат не только победители за весь год, но и победители каждого этапа. Приглашаем всех присоединиться и попробовать свои силы!

Задачи конкурса печатаются в каждом номере. Участвовать можно, начиная с любого тура. Победителей ждут дипломы журнала «Квантик», научно-популярные книги.

Конкурс ориентирован на школьников 5-8 классов, но и младшеклассники могут присылать решения. Вносите решения задач III тура, с которыми справитесь, не позднее 5 декабря в систему проверки konkurs.kvantik.com (инструкция kvan.tk/matkonkurs), или высылайте по электронной почте , либо обычной почтой по адресу: 119002, Москва, Б. Власьевский пер., д. 11, журнал «Квантик». В письме кроме имени и фамилии укажите город, школу и класс, в котором вы учитесь, а также обратный адрес.

Задачи и результаты конкурсов прошлых лет: 2021/2022, 2020/2021, 2019/2020, 2018/2019, 2017/2018, 2016/2017, 2016, 2015, 2014, 2013, 2012.

Желаем успеха!

III тур

Задача 11. (Сергей Дориченко)

Серёжа считает место в самолёте удобным, если оно у окна или у прохо­да. Каждый раз место ему выбирает ком­пьютер случайным образом. Самолёты бывают трёх типов, как на рисунке. В самолёте какого типа вероятность попасть на удобное место больше всего? А в каком — меньше всего?

Чертёж
Иллюстрация

Задача 12. (Сергей Костин)

Барон Мюнхгаузен утвержда­ет, что по его чертежам печь, изобра­жённую на рисунке сверху, разре­зали на 10 равных частей и из этих частей сложили печь, изображённую на рисунке снизу. Не ошибается ли барон?

Иллюстрация

Задача 13. (Борис Френкин)

На блюде лежат пирожки с капустой, картошкой и яблоками: больше всего — с капустой, а меньше всего — с яблоками. Школьники по одному подходят и берут по одному пирожку, причём того сорта, которого в этот мо­мент больше всего, а если такой сорт не один — любого из таких сортов. Вскоре оказалось, что пирожков с яблока­ми столько, сколько всех остальных, причём все три со­рта ещё есть. Можно ли определить, сколько в этот мо­мент на блюде пирожков каждого сорта?

Иллюстрация

Задача 14. (Александр Толмачев)

Равносторонний треугольник со стороной 3 разбит на 9 равносторон­них треугольников со стороной 1 (см. рисунок). Расставьте в них числа от 1 до 9 (по одному числу в треугольник) так, чтобы сумма чисел в любом равностороннем треугольнике со стороной 2 была квадратом целого числа.

Чертёж
Иллюстрация

Задача 15. (Николай Авилов)

У Васи сломалась головоломка «Змейка Ру­бика», состоящая из 24 одинаковых треугольных призм. Каждая призма — это половинка кубика 1×1×1. Из 16 таких полукубиков он склеил 8 раз­личных фигурок так, как на фото. Сможет ли Вася из этих вось­ми фигурок сложить куб 2×2×2?

Чертёж
Иллюстрация

Скачать этот тур в pdf

II тур

Задача 6. (Борис Френкин)

В гостиной, спальне и кухне висят градусники. В спальне температура всегда выше на 1 градус, чем в гостиной, а на кухне — ещё на 1 градус выше. Петя записал утром, днём и вечером показания всех трёх градусников, но ровно в одном числе сделал опечатку. В результате получились числа (в каком-то порядке): 17, 18, 19, 22, 25, 25, 26, 27, 27. В каком числе опечатка и что должно там стоять? Ответ обоснуйте.

Иллюстрация

Задача 7. (Татьяна Корчемкина)

Маша сшила восьмиугольную скатерть из пяти квадратов и четырёх равнобедренных прямоугольных треугольников (см. рисунок). А можно ли сшить точно такую же скатерть из одного квадрата и восьми равнобедренных прямоугольных треугольников (не обязательно одинаковых)

Чертёж
Иллюстрация

Задача 8. (Сергей Костин)

В слове СЛУЧАЙНОСТЬ школьники случайным образом заменяют буквы на цифры (одинаковые буквы на одинаковые цифры, а разные буквы на разные цифры, причем первая буква слова не может заменяться на цифру 0). Найдите вероятность того, что полученное в результате число делится на 3. (То есть какую долю среди всех возможных вариантов составляют числа, делящиеся на 3.)

Иллюстрация

Задача 9. (Михаил Евдокимов)

Все грани треугольной пирамидки — одинаковые равносторонние треугольники. У каждой грани отметили середины сторон и соединили друг с другом, разбив грань на 4 одинаковых маленьких треугольничка. Каждый из этих 16 получившихся треугольничков окрасили в один из трёх цветов — красный, синий или зелёный, — так, что любые два треугольничка с общей стороной окрашены в разные цвета (не забудьте, что треугольнички с общей стороной могут принадлежать и разным граням). Какое наибольшее количество красных треугольничков могло получиться?

Иллюстрация

Задача 10. (Сергей Костин)

Существует ли многоугольник, который с помощью одного прямолинейного разреза можно разрезать на треугольники с площадями 1, 2, 3, а с помощью другого прямолинейного разреза — на треугольники с площадями 2, 2, 2?

Иллюстрация

Скачать этот тур в pdf

I тур

Задача 1. (Сергей Дориченко)

На чаепитии всех угощали конфетами. И Петя, и Вася взяли себе по две конфеты каждого вида, но съели только по 10 конфет каждый, а остатки принесли домой. Сколько всего видов конфет было на чаепитии, если Петя принёс домой конфеты только трёх видов, а Вася — шести?

Иллюстрация

Задача 2. (Михаил Евдокимов)

Малыш и Карлсон делят торт 5×6, украшенный вишенками (см. рисунок). Может ли Карлсон так разрезать торт на две одинаковые по форме и размеру части, что все вишенки достанутся ему?

Чертёж
Иллюстрация

Задача 3. (Алексей Канель-Белов)

Гарри Поттер поместил в толщу воды неподвижный ледяной кубик со стороной 1 см, после чего вся вода, находящаяся не дальше, чем на 1 см хоть от какой-то точки кубика, тоже замёрзла. Докажите, что получившийся кусок льда можно разрезать на части и сложить из них всех несколько фигур, каждая из которых — кубик, цилиндр или шарик.

Иллюстрация

Задача 4. (Борис Френкин)

На острове 99 жителей, и каждый — либо спорщик, либо подпевала. Всех по очереди спросили, кого на острове больше — спорщиков или подпевал. Каждый, кроме первого, отвечал так: если он подпевала, повторял ответ предыдущего, а если спорщик — отвечал наоборот. В результате 75 островитян ответили неправильно. Можно ли только по этим данным определить, кого на острове больше: спорщиков или подпевал?

Иллюстрация

Задача 5. (Фёдор Нилов)

В вершинах куба расставили 8 чисел так, что на любых двух параллельных рёбрах общая сумма чисел одна и та же. Сколько среди этих 8 чисел может быть различных? (Укажите все варианты, сколько различных чисел может быть, и докажите, что других вариантов нет.)

Иллюстрация

Скачать этот тур в pdf