«Квантик» - журнал для любознательных
English version

Стартовал второй этап нашего конкурса 2021/2022 учебного года!

Он проводится в три этапа: с сентября по декабрь, с января по апрель и с мая по август. Дипломы и призы получат не только победители за весь год, но и победители каждого этапа. Приглашаем всех присоединиться и попробовать свои силы!

Задачи конкурса печатаются в каждом номере. Участвовать можно, начиная с любого тура. Победителей ждут дипломы журнала «Квантик», научно-популярные книги.

Конкурс ориентирован на школьников 5-8 классов, но и младшеклассники могут присылать решения. Вносите решения задач V тура, с которыми справитесь, не позднее 5 февраля в систему проверки konkurs.kvantik.com (инструкция kvan.tk/matkonkurs) или высылайте по электронной почте либо обычной почтой по адресу: 119002, Москва, Б. Власьевский пер., д. 11, журнал «Квантик». В письме кроме имени и фамилии укажите город, школу и класс, в котором вы учитесь, а также обратный адрес.

Задачи и результаты конкурсов прошлых лет: 2020/2021, 2019/2020, 2018/2019, 2017/2018, 2016/2017, 2016, 2015, 2014, 2013, 2012.

Желаем успеха!

V тур

Задача 21. (Борис Френкин)

На острове живут правдолюбы, лжецы и хитрецы (которые могут и сказать правду, и солгать). Всем задали вопрос: «Ты хитрец?» Утвердительно ответили ровно 20 человек. После этого всех спросили: «Ты лжец?» На этот раз сказал «да» ровно 21 человек. Кого на острове больше - хитрецов или лжецов?

Иллюстрация

Задача 22.

И круг, и прямоугольник легко разрезать на любое количество одинаковых частей. Существует ли фигура с тем же свойством, у которой нет ни центра симметрии, ни оси симметрии? (Части должны быть равны и по форме, и по площади.)

Иллюстрация

Задача 23. (Игорь Акулич)

Последовательностью Фибоначчи называется последовательность чисел, в которой первые два числа равны 1, а каждое последующее число равно сумме двух предыдущих: 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, … Можно ли первые 2022 числа последовательности Фибоначчи разделить на две группы, содержащие поровну чисел, чтобы суммы чисел в этих группах были равны между собой?

Иллюстрация

Задача 24. (Николай Авилов)

а) Можно ли в белом клетчатом квадрате 10×10 закрасить чёрным несколько клеток так, чтобы число бело-белых соседних клеток равнялось числу бело-чёрных соседних клеток и равнялось числу чёрно-чёрных соседних клеток? (Соседними считаются клетки с общей стороной.)
б) Тот же вопрос про квадрат 9×9.

Иллюстрация

Задача 25. (Константин Кноп)

Точка F снаружи правильного пятиугольника ABCDE такова, что отрезки ED, EC, AC и AB видны из F под одним и тем же углом (см. рисунок). Под каким? (Говорят, что отрезок MN виден из точки X под углом α, если угол MXN равен α).

Чертёж
Иллюстрация

Скачать этот тур в pdf

IV тур

Задача 16. (Алексей Заславский)

На острове каждый житель либо рыцарь (всегда говорит правду), либо лжец (всегда лжёт). Житель A рассказал такую историю:
- Встретил я жителей B и C. Первый говорит: «Мы оба лжецы». А второй кивает: «Это правда».
Про кого из A, B, C можно однозначно определить, кто он - рыцарь или лжец?

Иллюстрация

Задача 17. (Назар Агаханов)

Расшифруйте ребус:
ТУК + ТУК + ТУК + ТУК + ТУК = СТУК.
(Найдите все ответы и докажите, что других нет. Одинаковыми буквами обозначены одинаковые цифры, разными - разные, и ни одно число не начинается с ноля.)

Иллюстрация

Задача 18. (Сергей Дворянинов)

Когда Робинзон Крузо попал на необитаемый остров, у него было 200 ружейных зарядов. Ради их экономии он решил каждый день тратить на охоте не более 5% имеющихся на то утро зарядов. В какой-то момент Робинзон уже не мог делать выстрелы, придерживаясь своего правила. Сколько патронов он истратил к этому моменту?

Иллюстрация

Задача 19. (Михаил Евдокимов)

При каких N большой клетчатый уголок, состоящий из трёх квадратов N×N, можно разрезать по линиям сетки на обычные трёхклеточные уголки?

Иллюстрация

Задача 20. (Михаил Евдокимов)

а) Маша испекла торт, имеющий форму квадрата со стороной 21 см. Затем она выбрала внутреннюю точку на одной из сторон и сделала надрез длиной 20 см из этой точки перпендикулярно выбранной стороне. В итоге Маша сделала так для каждой из 4  сторон. Обязательно ли при этом был отрезан хотя бы один кусок?
б) Решите ту же задачу, если Маша испекла торт в форме правильного шестиугольника диаметра 35 см и сделала от каждой стороны разрез длиной 20 см перпендикулярно этой стороне.

Иллюстрация

Скачать этот тур в pdf

III тур

Задача 11. (Максим Дидин)

Барон Мюнхгаузен утверждает, что записал дробь A/B, где A и B - различные натуральные числа, а потом вычеркнул какую-то цифру в числителе и какую-то - в знаменателе так, что получившаяся дробь стала равна дроби B/A. Могло ли такое быть?.

Иллюстрация

Задача 12. (Егор Бакаев)

Квантик и Ноутик выгуливают своих собак не далее чем в 100 м от своих домов (то есть в таких точках, расстояние от которых до ближайшей точки дома не превышает 100 м). Они живут в домах, формы и  размеры которых указаны на рисунке. Дома расположены далеко друг от друга и от других домов, и  вокруг них нет ничего, мешающего прогулке. У кого больше площадь территории, на которой он выгуливает свою собаку?

Чертёж
Иллюстрация

Задача 13. (Борис Френкин)

В таблице 10×10 половина клеток красные, половина - синие. Назовём строку или столбец чистыми, если в них все клетки одного цвета. Какое наибольшее суммарное число чистых строк и столбцов может быть в такой таблице и почему?

Иллюстрация

Задача 14. (Михаил Евдокимов)

На картинке вы видите часть большой решётки, составленной из шестиугольников, у которых все стороны равны и углы тоже. Все вершины шестиугольников раскрасили, каждую - в чёрный или белый цвет. Докажите, что найдутся три одноцветные вершины, образующие равносторонний треугольник.

Чертёж
Иллюстрация

Задача 15. (Илья Сиротовский)

Петя записывает 9-значные числа. На первое место (самое левое) он пишет любую цифру от 1 до 9, на второе место - от 1 до 8, на третье - от 1 до 7, …, на девятое (самое правое) - цифру 1. Сколько чисел, делящихся на 7, может получить Петя?

Иллюстрация

Скачать этот тур в pdf

II тур

Задача 6. (Максим Волчкевич)

Кресла в самолёте расположены в 30 рядов. Расстояние между рядами одно и то же, расстояние между спинками кресел, идущих друг за другом, равно 80  см. С целью добавить новые ряды, пустое пространство перед каждым креслом решили уменьшить на 5 см. Сколько теперь поместится рядов в салоне самолёта?

Иллюстрация

Задача 7. (Константин Кноп)

Во внешнюю сторону от квадрата построены два равносторонних треугольника с вдвое меньшей стороной (см. рисунок). Чему равен угол, отмеченный знаком вопроса?

Иллюстрация

Задача 8. (Александр Перепечко)

Несколько интровертов и экстравертов хотят разбиться на четыре команды. Каждый по очереди выбирает команду, причём интроверты выбирают какую-то команду минимального размера на момент выбора, а  экстраверты – максимального. Могли ли команды получиться попарно различного размера?

Иллюстрация

Задача 9. (Алексей Толпыго)

Дан правильный шестиугольник ABCDEF. Любые три его вершины образуют треугольник, всего таких треугольников 20. Квантик хочет отметить внутри шестиугольника как можно меньше точек, чтобы внутрь каждого из этих 20 треугольников попала хоть одна отмеченная точка. Приведите пример, как отметить точки, чтобы выполнялось это условие, и докажите, что меньше точек отметить нельзя.

Иллюстрация

Задача 10. (Александр Перепечко)

В классе в турнире по армрестлингу каждый сыграл с каждым (ничьих в армрестлинге не бывает). Каждый мальчик одержал вдвое больше побед, чем потерпел поражений, а каждая девочка – вдвое меньше побед, чем поражений.
а) Приведите пример, как такое могло быть.
б) Обязательно ли при этом какая-нибудь девочка победила какого-нибудь мальчика?

Иллюстрация

Скачать этот тур в pdf

I тур

Задача 1. (Сергей Шашков)

На склад, пол которого имеет вид прямоугольника 3×7 клеток, привезли кубический холодильник, он занимает одну клетку. Холодильник можно перекатывать через ребро, ставя на бок, но нельзя переворачивать вверх ногами. Нарисуйте пример пути, по которому можно перекатить холодильник из нижней левой клетки в правую верхнюю, чтобы и в начале, и в  конце он стоял дном вниз, если изначально
а) склад пустой (рис. 1);
б) на складе уже заняты две клетки (рис. 2).

Чертёж
Иллюстрация

Задача 2. (Татьяна Корчемкина)

Полина, Лена и Ирина впервые пришли на кружок и решили познакомиться.
– Меня зовут Лена, – сказала одна из них.
– А меня зовут Ирина, – сказала вторая.
Третья девочка промолчала.
Известно, что Полина всегда говорит правду, Лена всегда лжёт, а Ирина иногда говорит правду, а иногда – неправду. Как на самом деле зовут каждую из девочек?

Иллюстрация

Задача 3. (Кирилл Банков)

а) Можно ли разрезать какой-нибудь прямоугольник на несколько равнобедренных прямоугольных треугольников, среди которых нет одинаковых?
б) Можно ли так разрезать квадрат?

Иллюстрация

Задача 4. (Сергей Костин)

Расставьте в клетках квадрата 3×3 различные натуральные числа, в записи каждого из которых могут присутствовать лишь цифры 1 и 2, так чтобы сумма чисел в каждой строке и в каждом столбце была одна и та же.

Иллюстрация

Задача 5. (Александр Перепечко)

Есть проволочный каркас прямоугольного ящика и верёвка. Разрешается выбрать любые несколько точек на каркасе, соединить их подряд натянутой верёвкой и измерить её длину, от первой точки до последней. Предложите способ за два таких измерения найти суммарную площадь всех шести граней ящика.

Иллюстрация

Скачать этот тур в pdf