Стартовал первый этап нашего конкурса 2023/2024 учебного года!
Конкурс проводится в три этапа: с сентября по декабрь, с января по апрель и с мая по август. Дипломы и призы получат не только победители за весь год, но и победители каждого этапа. Приглашаем всех присоединиться и попробовать свои силы!
Задачи конкурса печатаются в каждом номере. Участвовать можно, начиная с любого тура. Победителей ждут дипломы журнала «Квантик», научно-популярные книги.
Конкурс ориентирован на школьников 5-8 классов, но и младшеклассники могут присылать решения. Вносите решения задач III тура, с которыми справитесь, не позднее 5 декабря в систему проверки konkurs.kvantik.com (инструкция kvan.tk/matkonkurs), или высылайте по электронной почте , либо обычной почтой по адресу: 119002, Москва, Б. Власьевский пер., д. 11, журнал «Квантик». В письме кроме имени и фамилии укажите город, школу и класс, в котором вы учитесь, а также обратный адрес.
Задачи и результаты конкурсов прошлых лет: 2022/2023, 2021/2022, 2020/2021, 2019/2020, 2018/2019, 2017/2018, 2016/2017, 2016, 2015, 2014, 2013, 2012.
Желаем успеха!
III тур
Задача 11. (Сергей Костин)
Число называется палиндромом, если оно одинаково читается слева направо и справа налево (примеры: 7, 77, 787). Представьте число 2023 в виде суммы как можно меньшего количества слагаемых-палиндромов.
Задача 12. (Татьяна Казицына и Борис Френкин)
В полдень из пункта А в пункт Б выехали велосипедисты Алёша и Вася, а навстречу им из пункта Б в пункт А — велосипедисты Боря и Гриша. Каждый ехал с какой-то постоянной скоростью. Спустя какое-то время все четверо одновременно встретились, после чего Алёша и Гриша поехали в пункт А, Боря — в пункт Б, а Вася — в один из этих пунктов, причём он приехал четвёртым (позже всех). Каким по счёту приехал Гриша?
Задача 13. (Александр Грибалко)
Набор состоит из 16 одинаковых фишек в форме равностороннего треугольника. Саша нарисовал на каждой фишке среднюю линию (то есть отрезок, соединяющий середины сторон) и хочет сложить из всех фишек равносторонний треугольник так, чтобы никакие две из этих средних линий не имели общих концов. Сможет ли он это сделать?
Задача 14. (Александр Грибалко)
Перед вами и зрителями выложат несколько монет. Вам по секрету скажут про каждую монету, сколько она весит, а зрителям откроют лишь, что каждая монета весит 2г или 3г, а вместе они весят 23г. Всегда ли вы сможете сделать перед зрителями всего одно взвешивание на чашечных без гирь, после которого они тоже поймут про все монеты, какая сколько весит?
Задача 15. (Илья Сиротовский)
Бумажный шестиугольник ABCDEF, все стороны которого равны 1, а все углы равны 120°, согнули, как показано на рисунке, совместив вершины A и E в точке A´. Угол AFG равен 15°.
а) Найдите периметр шестиугольника HCBGA´D´.
б) Докажите, что точки F, D´, C лежат на одной прямой.
II тур
Задача 6. (Михаил Евдокимов)
Вася заметил, что если записать даты рождения в формате ДД.ММ.ГГГГ, то все цифры на соответствующих местах у него и у его двоюродного брата отличаются. Какова наименьшая возможная разница в возрасте между ними?
Задача 7. (Павел Кожевников)
Пятнадцать бочек поставили в виде треугольника (рис.1) и обтянули кольцевым обручем. Шестнадцать бочек поставили в виде квадрата 4×4 (рис.2) и тоже обтянули кольцевым обручем. Сравните длины этих обручей.
Задача 8. (Евгений Смирнов)
Имеются стакан кофе, наполненный на 2/3, и такой же стакан молока, наполненный на 2/3. Разрешается переливать любое количество жидкости туда и обратно, тщательно её перемешивая, но нельзя ничего выливать. Можно ли получить в одном из стаканов напиток, составленный из молока и кофе в пропорции 1:1?
Задача 9. (Татьяна Казицына)
Сделайте на фигуре надрезы так, чтобы полученная фигура не распалась на части и ей можно было обернуть какой-нибудь куб в один слой. (Надрезы нарисуйте сплошными линиями, а сгибы — пунктирными.)
Задача 10. (Сергей Шамсутдинов)
На прямоугольнике 4×8 клеток (половине шахматной доски) разместите трёх ферзей так, чтобы каждое пустое поле бил хотя бы один из ферзей. (Ферзь бьёт по горизонтали, вертикали и диагонали на любое число клеток.)
I тур
Задача 1. (Иван Молодык)
На эскалаторе в метро ступеньки пронумерованы по порядку. На каждой пятой (5, 10, 15, …), на первой и на последней ступеньках краской написаны их номера. Поднимаясь по эскалатору, Вася заметил три подряд идущие ступеньки, на которых были написаны номера. Он сложил эти три номера и получил некоторое число. Назовите последнюю цифру этого числа и объясните, почему она именно такая.
Задача 2. (Михаил Евдокимов)
Разрежьте флажок на две равные по форме и размерам части.
Задача 3. (Татьяна Казицына)
У Вани 4 яблока, у Коли – 41 яблоко, а у всех остальных мальчиков по 14 яблок. Мальчики могут поменяться между собой яблоками так, чтобы у всех стало поровну. Сколько всего мальчиков?
Задача 4. (Александр Грибалко)
У Фелониуса Грю живут 33 миньона, все они весят одинаково. Однажды один из них стащил у Грю банан и съел его, но Грю не знает, кто это сделал. У него есть большие чашечные весы без гирь, на которых он может взвешивать любое количество миньонов. Однако если миньоны оказываются на одной чаше весов, они ссорятся и больше на одну чашу одновременно их ставить нельзя. Как Грю за четыре взвешивания найти воришку, если после съеденного банана он весит больше остальных?
Задача 5. (Михаил Евдокимов)
Каменщик выложил стенку без дырок и полостей из одинаковых кирпичей 1×1×2. Но некоторые кирпичи он положил вдоль, некоторые поперёк, некоторые вертикально, то есть длинное ребро кирпича параллельно одному из трёх направлений. Могло ли оказаться, что кирпичей каждого из трёх типов поровну, если размеры стенки:
а) 3×8×10;
б) 3×9×10?
© 2012-2023 Квантик